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あなたはどっちが近道にみえる?

この交差点だけど、
chikamichi.jpg信号方面→①、細道方面→②
(②は時速30km制限。スピード出せないくらい狭い)

ここで左折するにはどちらが近道?

ここで、近道の意味とは次のとおり
1.目的地までの距離がより短い道。
2.ある物事を達成するのにてっとり早い手段、方法の意

とある。
ここで、2は「早道」と言ったほうが最適なのだ。

1は距離的な意味合いが強く、2は時間的な意味合いが強い。

普段皆が使っている「近道」とは距離的に近いから近道という
これは正しいが、多くの人は「時間を気にしながら近道を通る」
という人が多かろう

それは近道ではなくて、早道なのだと!

図の説明でいくと
信号の方面は、近道ではないこと。
細道は近道になるのは自明


細道入口から信号までをLa、信号から細道出口までをLbとする。
ここで細道の距離をL2とすると
車の速度をVとし、
距離的な関係は、

※信号ルート領域→signal
細道ルート領域→thin
細道入口→A
細道出口→B
交差点→C

L2 <= ∫_signal Vdt [A→B] となる
ここで
L2 <= ∫_signal Vdt [A→C-ΔC/2] +∫_signal Vdt [C+ΔC/2→B] + ∫_signal Vdt [ΔC]

右辺は、減速と加速が同じとみなせる。
2*∫_signal Vdt [A→C-ΔC/2] + ∫_signal Vdt [0→|A-B|]++ ∫_signal Vdt [ΔC]

交差点までに入る距離をL_ACとし、A-Bの距離間では時間によらずVがほぼ一定と考える
ΔCは交差点通過距離で時間的な関数だ。LC(t)とおく。

L2 <= 2 * L_AC + L{|A-B|} + LC(t)
L2が最小になるには、直線距離がのぞましいので
L2=√( L_AC^2 + (L_AC + L{|A-B|} )^2 )
となる。実際は複雑な曲線距離なので
L2=√( L_AC^2 + (L_AC + L{|A-B|} )^2 )+ α
だ!

ここから、交差点通過仮想距離LC(t)を求めると

LC(t) >= √( L_AC^2 + (L_AC + L{|A-B|} )^2 ) - 2 * L_AC - L{|A-B|} + α

今一度、L_AC→L、L{|A-B|}→Mとおくと

LC(t) >= √( L^2 + ( L + M )^2 ) - 2*L - M + α

LやMが大きかろうが、小さかろうが、1項から2項を引いた値は
負になる。LCは非負関数でなければいけないんで
条件はほぼ成立します。

√( L^2 + ( L + M )^2 ) - 2*L - M + α > 0

を満たしたときは、LC(t) > 0 でなければいけないので
交差点は早く渡らないといけませんね!

LC(t)< √( L^2 + ( L + M )^2 ) - 2*L - M + α

になると近道というか早道は有効にならない。さらに、
早道になる境界線は、LCが0であればいいので

α =  2*L + M - √( L^2 + ( L + M )^2 )

単純に、最長距離>直線距離が成立すればいいと証明できた。



赤信号になるとLC(t)はでかくなる。

LC(赤信号)>> √( L^2 + ( L + M )^2 ) - 2*L - M + α

となってしまった・・・
こうなってしまっては大体近道が有効になるが、α次第。

では、A地点で青信号だからまっすぐ行こう!そうなると
LC(0)はほぼないといっていい。


LC(0) ≒ √( L^2 + ( L + M )^2 ) - 2*L - M + α ≒ 0
※LC(t)>= 0

となってしまうだろう。α次第で不等号が安定しないので
近道だが、早道ではない



私は、目の前が青信号なら突っ切って曲がり
赤信号なら細道通るよ!
そういうことだ。
近道だけじゃ、目的地に早く着けない。
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