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あたまのたいそー

最近、ちょっと数学を思い出したい。ということで簡単な問題を思いついたので
やってみたい人はやってみるといいさ~たぶん高校数学レベルかな

zu.jpg

上図、円に内接する四角形がある。円の中心点はOとする。
今、この図からわかることは次の通り

弧RQは、弧QPの2.25倍の長さ
弧SRは、弧QPの1.50倍の長さ
弧PSは、弧QPの1.25倍の長さ
※線分(弦)の長さではなく、弧の長さに注意

四角形の面積は4

以上、与えられた条件だけで円の面積を求めてください。


答えは続きなんだが・・
自分なりの答案を用意しました
1.弧について
3つ定義されてますが、すべて弧QPの基準になっています。
弧QPをxとおけば、円周の長さは

x+2.25x+1.5x+1.25x=6x

となります。
1週はもちろん360度ですよね~まぁ2πで答えてもいいけど
6xってことは6分割ができますので、円の半径rとすれば

x=π/3(60度)・r

となることが分かります。
弧QPが作る角度が60度というのがわかりましたので、
60度基準に倍数かけてやれば、それぞれの角度がわかります

∠QOP=60
∠ROQ=135
∠SOR=90
∠POS=75


2.4角形の正体は、4つの二等辺三角形
ここで説明するのめんどくさいんで
円の中心点から、2本の半径線で結ばれてできる三角形は
半径2本の二等辺三角形となる。

△QOP=1/2・r^2・sin(60度)

と書くことができるので、
他三角形も同様に解いていく。

△QOP+△ROQ+△SOR+△POS=4

となりますので、各自代入すれば、

1/2・r^2・(sin(60)+sin(135)+sin(90)+sin(75)) = 4

となりますので、一気に半径の二乗がわかってしまうではないか


3.sin(75)は加法定理があったでしょうが
sin(30+45)でもとめられたよね!
たしか・・・
sin(30)cos(45)+sin(45)cos(30)じゃない?

もう、あとはお分かりでしょうが
式を移行すれば半径二乗が出てしまいますね

円の面積を求めるにはπ・r^2なので
r^2に代入すれば



円の面積=32*π / {( √2+2)(√3+2)+√2} =7.102

となるわけですね
※分母の√式は因数分解しています

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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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